Der Dreisatz - neue olympische Disziplin?

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Junge Landschaft Ausbildung und Beruf
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Grafiken: Uwe Bienert
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102. folge Unsere Serie für den Nachwuchs erläutert das wichtigste GaLaBau-Grundlagenwissen vom Abstecken bis zum Zaunbau: Diesmal geht es um das Thema Dreisatz.

Mit dem Dreisatz verbindet sich für mich eines der lustigsten und zugleich aber auch nachdenklichsten Erlebnisse aus der Anfangszeit als Ausbilder für Gärtner. Im schönen Land Brandenburg erhielt ich als gerade selbständig gewordener junger Gärtnermeister die Aufgabe, im Rahmen eines Projektes der Landesregierung Jugendliche und Jungerwachsene zu testen und diese für den Beruf des Landschaftsgärtners zu begeistern.

Auf dem Lehrplan stand Mathe - Der Dreisatz! Ich schrieb das Thema an die Tafel, worauf sofort ein monotones Murren durch die Reihen ging. "Herr Bienert, dafür haben wir keine Bücher mit. Sie hätten uns sagen müssen, wenn plötzlich Deutsch gemacht werden soll. Und können wir nicht erst mal einen Satz machen, als sofort volle Power drei?" Um eine kleine Entschuldigung für meine Landsleute vorzubringen, muss ich sagen, dass ich bis zur Wende auch noch nie etwas vom Dreisatz gehört hatte. Dieser wurde in meiner Schulzeit als Verhältnisgleichung gelehrt. Auf diesen Tatbestand komme ich im Laufe des Artikels nochmal zurück.

Was ist der Dreisatz eigentlich?

Ich kenne niemanden, der dieses mathematische Problem so gut erklären kann, wie Otto Walkes. Immer wenn ich "Dreisatz" höre, sehe ich ihn im weißen Kittel, wild hüpfend am Lehrertisch und die Kernaussage des Dreisatzes rufend: "Je größer der Rutschfaktor SIT, desto größer der Aufklatschfaktor BUMM!"

Mit dem Dreisatz, der eigentlich Viersatz heißen müsste, hat man ein mathematisches Verfahren gefunden mit dem es möglich ist, aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen.


Der einfache Dreisatz

Beim einfachen Dreisatz sollen folgende Kriterien zu Grunde gelegt werden:

(1) Den Fakt "Je mehr A, umso mehr B." (Erinnern Sie sich an Otto?) nennt man direkte Proportionalität. Klingt schwierig, kann sich der Landschaftsgärtner aber relativ leicht merken: "Je schwerer der Hammer, desto dicker der Daumen bei einem Treffer!"

(2) Gegeben muss immer ein Verhältnis von a Einheiten einer Größe A zu b Einheiten einer Größe B sein. Das heißt eigentlich nichts anderes, als das ein Sack Kartoffeln 7,50 Euro kostet! Ein Sack = 7,50 Euro

(3) Gesucht wird nach der Anzahl von x Einheiten der Größe B, die in dem gleichen Verhältnis zu c Einheiten der Größe A stehen sollen. Um bei den Kartoffeln zu bleiben: Wie viel Euro muss man für sechs Sack hinblättern? Wenn ein Sack = 7,50 Euro, dann sechs Sack = 45,00 Euro. Das ist Dreisatz!

Bei meinen Recherchen für diesen Artikel habe ich die abstrusesten Erklärungsversuche für den Dreisatz gefunden. Und ich habe sehr oft an meine Probanden in Brandenburg gedacht. Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und wurden bereits von Euklids (Mathematiker - und jetzt haltet euch fest - aus dem Jahr 300) genutzt. Selbst Adam Ries (Mathematiker 1493-1559) nutzte die Dreisatzregel als "regula de tri" in seinen Rechenbüchern. Die Bezeichnung Dreisatz rührt von den drei gegebenen, in die Rechnung einzusetzenden (im altem Deutsch: "gesatzt"), Größen her. In der Algebra (arabisch: al-dschabr "das Zusammenfügen gebrochener Teile") handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine Verhältnisgleichung der Form a:b=c:d (in Worten a verhält sich zu b, wie c zu d). Jeder der vier Beträge kann dabei die gesuchte Größe sein und berechnet werden, wenn die drei anderen bekannt sind. Beispiel: Ist d unbekannt gewinnt man durch Umstellen der Gleichung die Lösung d = (c.b):a. Das ist die mathematische Grundlage des Dreisatzes.

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Die Lösung des Dreisatzes - Ein Angebot

Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert beziehungsweise multipliziert.

Mit einem Beispiel wird die Sache vielleicht deutlicher: In drei Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in sieben Stunden?

Lösung: In sieben Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit.

Nun gibt es zur Verzweiflung aller Hobby-Rechner auch noch den "umgekehrten Dreisatz". Diesem liegen folgende drei Kriterien zu Grunde:

(1) Es besteht der Fakt "Je weniger A, umso mehr B.", der als indirekte Proportionalität bezeichnet wird.

(2) Dabei ergeben a Einheiten einer Größe A mit b Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.

(3) Gefragt wird nach der Anzahl d Einheiten der Größe B, die mit c Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: a.b = c.d.

In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt. Auch hier ein Beispiel: Für eine bestimmte Pflasterfläche benötigen drei Personen vier Tage, um sie fertig zu stellen. Wie lange würde die Fertigstellung der Fläche dauern, wenn nur zwei Fachkräfte zur Verfügung stehen würden?

Lösung: 2 Arbeitskräfte benötigen für die Fläche sechs Tage.

Ich bin meinen Mathepaukern tatsächlich noch heute dankbar dafür, dass sie mich nicht ohne Sinn und Verstand Zahlen in irgendwelche Tabellen eintragen ließen. Im Vordergrund stand immer, das Problem zu verstehen, sich die Aufgabe richtig zu verinnerlichen und selbst zu einer Lösung zu kommen. Dazu brauchte man mathematisches Grundlagenwissen und das kann man nur erlangen, wenn es dem Lehrer (oder in unserem Fall eher dem Ausbilder) gelingt, Begeisterung zu wecken und vor allem mit Spaß bei der Sache zu sein.

Uwe Bienert

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 Uwe Bienert
Autor

Landschaftsgärtner-Meister und Ausbilder

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