GaLaBau Wissen

Voluminös - Mathe im Galabau 3

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GaLaBau Wissen Ausbildung und Beruf

129. Folge Unsere Serie für den Nachwuchs erläutert das wichtigste GaLaBau-Grundlagenwissen vom Abstecken bis zum Zaunbau: Diesmal geht es um das Thema Dreisatz und Prozente.

In der letzten Folge unses kleinen Ausfluges in die mathematische Welt soll es um zwei Schwerpunkte gehen, die eng miteinander verbunden sind und die den mesiten Stress bereiten: Dreisatz und Prozentrechnung. Beides wird ständig im beruflichen Leben benötigt. Man denke dabei an Mischungsverhältnisse bei Düngemitteln, Pflanzenschutzmitteln, Beton und Mörtel und vieles andere mehr. Beide Themen werden in der Mathematik getrennt. Sehr unlogisch für eine eigentlich logische Wissenschaft wie die Mathematik. Beides ist im tieferen Sinn das gleiche Grundprinzip.

Der Dreisatz

Der Name "Dreisatz" hört sich wie eine sehr alte Bezeichnung an. Sie ist es auch. Meine Großeltern kannten den Begriff bereits aus dem Rechenunterricht ihrer Volksschule. Das war so um 1900. Sicher war auch die vorherige Generation schon damit konfrontiert. Dabei finde ich, dass diese Bezeichnung nicht die beste Wahl ist. Ohne in Ostalgie zu schwelgen, möchte ich an dieser Stelle auf das Mathe-Konzept der DDR-Schulen verweisen. Dort wurde das Thema unter dem Begriff "Verhältnisgleichung" behandelt. Und das trifft es tatsächlich.

Der Dreisatz stellt das Verhältnis von mindestens vier Zahlen dar, bei denen im günstigsten Fall eine unbekannt ist. Wenn wir den Dreisatz anwenden wollen, muss ein proportionales Verhältnis der Zahlen vorhanden sein. Proportional bedeutet, dass die einzelnen Werte verhältnisgleich sind. Dabei ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der anderen Größe verbunden.

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Grafiken: Uwe Bienert

Ein ganz einfaches Beispiel: Es werden zehn Tiefborde zu je 6,00 Euro im Baustoffhandel angeboten. Wir benötigen aber für unser Bauvorhaben 30 Tiefborde. Dann fragen wir uns natürlich: Wieviel müssen wir dafür berappen?

Zurück zum Thema: Daraus ergibt sich also eine "Wenn-Dann-Frage" - Wenn zehn Steine 60 Euro kosten, was kosten dann 30 Steine? In einer Gleichung würde das genau so aussehen:

10 Tiefborde/30 Tiefborde = 60,00 Euro/X Euro

In Worten würde man dies als Verhältnisgleichung etwa so ausdrücken: 10 verhält sich zu 60, wie 30 zu X.

Um X errechnen zu können, müssen wir in der Lage sein Gleichungen nach einer Unbekannten umzustellen. Den Versuch einer schrittweisen Darstellung findet man im Bild nebenan. Von Vorteil ist der sichere Umgang mit der Bruchrechnung. Oje, wenn man das Fass Mathe einmal aufmacht.

Jeder wird jetzt denken, warum so kompliziert, kann man doch im Kopf rechnen. Ja, kann man - aber nur wenn man es kapiert hat. Ich hoffe, dass das jetzt gelungen ist.

Wichtig ist zu wissen, dass die obige Variante nur funktioniert, wenn jeder der Tiefborde den gleichen Preis hat. Dieser proportionale Zusammenhang muss als Voraussetzung gegeben sein. Wer Lust hat, kann noch ein zweites Beispiel rechnen und sich ein "Fleißbienchen" bei seinem Mathe-Lehrer abholen.

Aufgabe: Der Firmentransporter benötigt auf 100km Strecke 12 Liter Diesel. Wie viele Liter Diesel benötigt er, um 76 Kilometer zu fahren?

100 Kilometer/76 Kilometer = 12 Liter/x

x = (76 Kilometer * 12 Liter)/100 Kilometer
x = 9,12 Liter

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Es geht noch schlimmer

Es wäre natürlich schön einfach, wenn das mit dem Dreisatz immer so funktionieren würde. Macht es leider aber nicht! Ich sehe Unglauben im Lesergesicht, dann also ein Beispiel:

Drei GaLaBauer benötigen für das Pflastern von 300m² Parkplatz mit Rechteckpflaster sechs Stunden Zeit (An alle Besserwisser: Das ist ein Beispiel und kein Realwert). Wie viel Zeit würden sechs GaLaBauer benötigen?

5 Kollegen/10 Kollegen = 6 Stunden/x

Rechnet man jetzt nach obigem Muster, stellen wir fest, dass die doppelte Anzahl von Kollegen auch die doppelte Zeit benötigen. "Naja", werden einige sagen, "Frühstück, Mittag, Kaffee: Kommt hin." Hallo? Der Chef würde toben.

Die Rechnung macht natürlich wenig Sinn. Je mehr Kollegen, umso schneller sollte es gehen. Neben den proportionalen Zusammenhängen es gibt noch die so genannten "Antiproportionalen Zusammenhänge". Das heißt für unser Beispiel:

10 Kollegen/5 Kollegen = 6 Stunden/x

x = (6 Stunden mit 5 Kollegen)/10 Kollegen
x = 3 Stunden

Und schon lächelt der Chef wieder. Auch hier vielleicht eine Übung?

Aufgabe: Beim Rückbau eines Schulhofes fallen 360m³ Bauschutt an. Für den Abtransport brauchen zwei Containerfahrzeuge (Ein Baucontainer der Firma fasst 15m³) 12 Stunden. Der Chef ordert noch zwei zusätzliche Fahrzeuge. Wie lange dauert der Abtransport?

4 Fahrzeuge/2 Fahrzeuge = 12 Stunden/x

x = (12 Stunden * 2 Fahrzeuge)/4 Fahrzeuge
x = 6 Stunden

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Proportional / Antiproportional - eine schwierige Entscheidung?

Die Frage steht im Raum: Wann entscheide ich mich für das Eine und wann für das Andere? Hier sind wir an dem Punkt angekommen, an dem man feststellen muss, dass Mathe nicht nur stupides Rechnen nach Formeln ist, sondern auch Nachdenken und Logik. Die folgende Überlegung muss der Rechnung vorhergehen:

  • Je mehr, desto mehr (Proportionalität)
  • Je mehr, desto weniger (Antiproportionalität)

Die Prozentrechnung

Was ist das überhaupt - Prozentrechnung? Eine recht zweckmäßige Erfindung!

Die Prozentrechnung hilft dabei Anteile an etwas Ganzem darzustellen ohne dabei eine Wertigkeit darzustellen. Ein Prozent (1%) bedeutet nichts anderes als ein Teil von 100 Teilen. Man kann daher ein Prozent auch mit einem Bruch ausdrücken, bei dem im Zähler eine 1 und im Nenner 100 steht.

1 % = 1/100

Wichtige Begriffe der Prozentrechnung

Um mit Prozenten rechnen zu können, sollte man zunächst die wichtigsten Begriffe der Prozentrechnung kennen und verstehen.

Der Zusammenhang zwischen Prozentzahl p und Prozentsatz p % ist so zu verstehen:

p % = p/100

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Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Für das Rechnen mit Prozent gibt es eigentlich nur eine Formel, die man als Grundformel bezeichnen kann und die, welchen Wert man auch da-raus ermitteln möchte, dementsprechend umgestellt werden muss.

G = W/p% oder G = 100W/p

Wir erhalten den Grundwert G, indem wir den Prozentwert W durch den Prozentsatz p % teilen. Alternativ können wir auch den Prozentwert W mit 100 multiplizierten und durch die Prozentzahl p teilen.

Um den Prozentwert W, der einen Anteil an etwas Ganzem angibt, stellt man die Formel nach W um.

W = pG/100 oder W = p%

Wir erhalten den Prozentwert W, indem wir die Prozentzahl mit dem Grundwert multiplizieren und durch 100 teilen. Alternativ können wir den Prozentwert W berechnen, in dem wir den Prozentsatz mit dem Grundwert multiplizieren.

"Last but not least" - es fehlen noch Prozentsatz und Prozentzahl. Der Prozentsatz p % gibt einen Anteil an einem Grundwert an. Die Prozentzahl p ist der absolute Betrag des Prozentsatzes, also die blanke Zahl ohne Maßeinheit. Den Prozentsatz kann man berechnen, indem man den Prozentwert durch den Grundwert dividiert.

p% = W/G

Alternativ kann man die Prozentzahl berechnen, indem man den Prozentwert mit 100 multipliziert und durch den Grundwert teilt.

p = 100W/G

Wer jetzt aufatmet, weil Mathe vorbei ist, den kann ich schonmal schonend auf die nächste Folge verweisen. Dort spielt die Mehrwertsteuer und der Rabatt eine nicht zu verachtende Rolle.

Literatur

Quellen: Der Gärtner 15 (Klaus Herold; Ulmer-Verlag), Flächen und Volumen von Figuren und Körpern (Bernhard Ksiazek; Persen Verlag), Tafelwerke und Formelsammlungen (Cornelsen Verlag)

Im nächsten Monat lesen Sie:
"Hilfe die Pflanzen kommen!"
 Uwe Bienert
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Landschaftsgärtner-Meister und Ausbilder

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